当新的可靠性试验只产生少量失效数据时，仅分析这些观测值可能得到不稳定的威布尔形状参数估计。贝叶斯分析提供了一种结构化方法，将新证据与相关的历史知识结合起来。本文使用生成的数据说明如何在 FreeWeibull.com 中完成这一过程。

假设某供应商继续提供同一类型的零部件。之前的一次试验产生了 20 个失效数据，后续抽样试验仅产生了 3 个失效数据，失效时间分别为 60、100 和 170 小时。根据产品知识及预期的失效机理，工程师判断威布尔形状参数应大致保持一致，同时允许根据新证据估计特征寿命。

本文中的数据集均为说明用途而生成。在实际应用中，使用历史总体作为先验信息之前，必须先确认其相关性。

使用极大似然估计，将 20 个历史失效数据拟合为二参数威布尔分布。结果为 β = 3.06405，η = 101.92 小时。该历史分析同时提供了 β 的估计值及其不确定性信息。

步骤 1： 使用二参数威布尔分布拟合历史数据集。在本例中，β 的极大似然估计值为 3.06405。

步骤 2： 打开计算器并选择“参数”选项卡。选择费希尔矩阵方法，输入 90% 置信水平，并选择单侧下限。计算所得 β 的下限为 2.4657。然后分别在 80%、70% 和 60% 置信水平下重复计算。

步骤 3： 创建“概率与时间”工作表。将 β 的下限输入 X 轴，并将相应的互补概率输入 Y 轴。选择对数正态分布，并使用对 Y 的秩回归拟合这些数据点。拟合所得先验分布的对数均值为 1.10875，对数标准差为 0.157922。

在贝叶斯先验对话框中输入四舍五入后的数值 1.10 和 0.16，并以中位数报告贝叶斯结果。该先验分布仅应用于 β；η 不设置先验分布。

为什么 β 的百分位数服从对数正态分布

正值威布尔形状参数的费希尔矩阵置信界限是在对数尺度上计算的。该方法将 ln(β) 视为近似服从正态分布；转换回 β 后，相应的不确定性分布便近似为对数正态分布。因此，90% 单侧下限对应第 10 百分位数，80% 单侧下限对应第 20 百分位数，依此类推。将这些下限及其互补概率输入工作表，实际上是在重构同一条不确定性曲线。因此，得到对数正态拟合结果是预期现象，并不是 β 必须采用对数正态先验分布的独立证据。

将这条置信界限曲线用作信息先验，是一种说明性的工程近似。频率学派的置信界限并不是贝叶斯后验概率，因此仍需评估历史数据集的相关性，并进行敏感性分析，以判断所选先验分布对结果的影响。

首先，不使用历史信息，对 3 个新失效数据进行对 X 的秩回归分析。估计结果为 β = 1.85942，η = 128.805 小时。由于只有 3 个数据点，拟合斜率及其置信界限容易受到有限样本的影响。

随后，使用 β 的对数正态先验分布分析相同的 3 个失效数据。后验中位数估计结果为 β = 2.89089，η = 131.749 小时。

两种分析所得的 η 估计值相近，但 β 估计值存在明显差异。历史先验信息在不把完整的历史威布尔分布强加于新样本的情况下，使形状参数估计更加稳定。叠加图还显示了引入先验信息后不确定性的降低。

在叠加图中，RRX 数据系列使用时间轴上的 90% 双侧费希尔矩阵置信界限；贝叶斯数据系列则使用贝叶斯界限。对于贝叶斯数据集，FreeWeibull 会忽略叠加图中的“计算方法”设置。

先验分布应表达相关知识，而不是期望得到的答案。当产品、供应商、制造过程、运行条件及失效机理保持可比时，历史信息可能适合作为先验信息。如果改进措施改变了失效物理机理，则假设 β 保持相同可能不再合理。使用更宽或不同的先验分布进行敏感性分析，可以显示结论在多大程度上依赖这一工程判断。

本例说明，当新数据较少但存在可信的历史信息时，贝叶斯分析为何具有实用价值。FreeWeibull.com 同时支持贝叶斯威布尔分析和传统寿命数据分析方法，使用户能够在同一工作空间内比较两种结果。

欢迎在以下网站试用贝叶斯寿命数据分析模块： FreeWeibull.com 并查看 贝叶斯分析用户指南.